对B的任何一个特征向量X,设BX = λX,即X是B的属于特征值λ的特征向量.
由AB-BA = A,有ABX-BAX = AX,故λAX-BAX = AX,B(AX) = (λ-1)AX.
若AX非零,则AX是B的属于特征值λ-1的特征向量.
重复上述过程,若A²X非零,则A²X是B的属于特征值λ-2的特征向量.
依此类推,直至第n次:若(A^n)X非零,则(A^n)X是B的属于特征值λ-n的特征向量.
但V的维数为n,B不可能有n+1个特征值λ,λ-1,...,λ-n.
所以对某个k ≤ n,有(A^k)X = 0,从而也有(A^n)X = 0.
由B可对角化,其特征向量构成V的一组基.
A^n在V的一组基上都取0,所以A^n = 0.