若直线L与椭圆C:x∧2/3+y∧2=1交于A,B两点,坐标原点O到直线L的距离为√3/2,求三角形AOB面积的最大值.

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  • 坐标原点O到直线L的距离为√3/2,

    ∴设L的方程为xcosa+ysina+√3/2=0,即y=-(xcosa+√3/2)/sina,

    代入x^2/3+y^2=1得x^2*(sina)^2+3[x^2*(cosa)^2+√3xcosa+3/4)=3(sina)^2,

    整理得[1+2(cosa)^2]x^2+3√3xcosa+3(cosa)^2-3/4=0,

    △=27(cosa)^2-[1+2(cosa)^2][12(cosa)^2-3]

    =-24(cosa)^4+21(cosa)^2+3,

    |AB|=√{△[1+(cota)^2]}/[1+2(cosa)^2],设u=(cosa)^2,则0