整数划分问题是将一个正整数n拆成一组数连加并等于n的形式,且这组数中的最大加数不大于n.
如6的整数划分为
6
5 + 1
4 + 2,4 + 1 + 1
3 + 3,3 + 2 + 1,3 + 1 + 1 + 1
2 + 2 + 2,2 + 2 + 1 + 1,2 + 1 + 1 + 1 + 1
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
共11种.下面介绍一种通过递归方法得到一个正整数的划分数.
递归函数的声明为 int split(int n,int m);其中n为要划分的正整数,m是划分中的最大加数(当m > n时,最大加数为n),
1 当n = 1或m = 1时,split的值为1,可根据上例看出,只有一个划分1 或 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
可用程序表示为if(n == 1 || m == 1) return 1;
2 下面看一看m 和 n的关系.它们有三种关系
(1) m > n
在整数划分中实际上最大加数不能大于n,因此在这种情况可以等价为split(n,n);
可用程序表示为if(m > n) return split(n,n);
(2) m = n
这种情况可用递归表示为split(n,m - 1) + 1,从以上例子中可以看出,就是最大加
数为6和小于6的划分之和
用程序表示为if(m == n) return (split(n,m - 1) + 1);
(3) m < n
这是最一般的情况,在划分的大多数时都是这种情况.
从上例可以看出,设m = 4,那split(6,4)的值是最大加数小于4划分数和整数2的划分数的和.
因此,split(n,m)可表示为split(n,m - 1) + split(n - m,m)
根据以上描述,可得源程序如下：
#include
int split(int n,int m)
{
if(n < 1 || m < 1) return 0;
if(n == 1 || m == 1) return 1;
if(n < m) return split(n,n);
if(n == m) return (split(n,m - 1) + 1);
if(n > m) return (split(n,m - 1) + split((n - m),m));
}
int main()
{
printf("12的划分数:%d",split(12,12));
return 0;
}
将正整数划分成连续的正整数之和
如15可以划分成4种连续整数相加的形式：
15
7 8
4 5 6
1 2 3 4 5
首先考虑一般的形式,设n为被划分的正整数,x为划分后最小的整数,如果n有一种划分,那么
结果就是x,如果有两种划分,就是x和x x + 1,如果有m种划分,就是 x 、x x + 1 、 x x + 1 x + 2 、...、x x + 1 x + 2 ...x + m - 1
将每一个结果相加得到一个公式(i * x + i * (i - 1) / 2) = n,i为当前划分后相加的正整数个数.
满足条件的划分就是使x为正整数的所有情况.
如上例,当i = 1时,即划分成一个正整数时,x = 15,当i = 2时,x = 7.
当x = 3时,x = 4,当x = 4时,4/9,不是正整数,因此,15不可能划分成4个正整数相加.
当x = 5时,x = 1.
这里还有一个问题,这个i的最大值是多少?不过有一点可以肯定,它一定比n小.我们可以做一个假设,
假设n可以拆成最小值为1的划分,如上例中的1 2 3 4 5.这是n的最大数目的划分.如果不满足这个假设,
那么 i 一定比这个划分中的正整数个数小.因此可以得到这样一个公式i * (i + 1) / 2