AG与AF的关系是：AG=AF且AG垂直AF
证明：设AF与CG相交于M
因为BD ,CE是三角形ABC的高
所以角AEC=角ADB=90度
因为角AEC+角CAE+角ACG=180度
所以角ACG+角CAE=90度
因为角CAE+角ABF+角ADB=180度
所以角CAE+角ABF=90度
所以角ABF=角ACG
因为AB=CG
BF=AC
所以三角形ABF和三角形ACG全等（SAS)
所以AG=AF
角AGF=角BAF
因为角AEC+角EAF+角AME=180度
所以角EAF+角AME=90度
所以角AGF+角AMF=90度
因为角AGF+角AMF+角GAF=180度
所以角GAF=90度
所以AG垂直AF
综上所述：AG=AF且AG垂直AF