已知函数 ,其图象在点 处的切线方程为

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  • 已知函数

    ,其图象在点

    处的切线方程为

    (1)求

    的值;

    (2)求函数

    的单调区间,并求出

    在区间[-2,4]上的最大值.

    (1) a=1,b=

    . (2)8.

    试题分析:(1)f′(x)=x 2-2ax+a 2-1, 2分

    ∵(1,f(1))在x+y-3=0上,∴f(1)=2, 3分

    ∵(1,2)在y=f(x)的图象上,∴2=

    -a+a 2-1+b,

    又f′(1)=-1,∴a 2-2a+1=0,

    解得a=1,b=

    . 6分

    (2)∵f(x)=

    x 3-x 2

    ,∴f′(x)=x 2-2x,

    由f′(x)=0可知x=0和x=2是f(x)的极值点,所以有

    x

    (-∞,0)

    0

    (0,2)

    2

    (2,+∞)

    f′(x)

    0

    0

    f(x)

    极大值

    极小值

    8分

    所以f(x)的单调递增区间是(-∞,0)和(2,+∞),单调递减区间是(0,2). 10分

    ∵f(0)=

    ,f(2)=

    ,f(-2)=-4,f(4)=8,

    ∴在区间[-2,4]上的最大值为8. 13分

    点评:我们要灵活应用导数的几何意义求曲线的切线方程,尤其要注意切点这个特殊点,充分利用切点即在曲线方程上,又在切线方程上,切点处的导数等于切线的斜率这些条件列出方程组求解。属于基础题。