已知函数
,其图象在点
处的切线方程为
(1)求
的值;
(2)求函数
的单调区间,并求出
在区间[-2,4]上的最大值.
(1) a=1,b=
. (2)8.
试题分析:(1)f′(x)=x 2-2ax+a 2-1, 2分
∵(1,f(1))在x+y-3=0上,∴f(1)=2, 3分
∵(1,2)在y=f(x)的图象上,∴2=
-a+a 2-1+b,
又f′(1)=-1,∴a 2-2a+1=0,
解得a=1,b=
. 6分
(2)∵f(x)=
x 3-x 2+
,∴f′(x)=x 2-2x,
由f′(x)=0可知x=0和x=2是f(x)的极值点,所以有
x
(-∞,0)
0
(0,2)
2
(2,+∞)
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
极大值
极小值
8分
所以f(x)的单调递增区间是(-∞,0)和(2,+∞),单调递减区间是(0,2). 10分
∵f(0)=
,f(2)=
,f(-2)=-4,f(4)=8,
∴在区间[-2,4]上的最大值为8. 13分
点评:我们要灵活应用导数的几何意义求曲线的切线方程,尤其要注意切点这个特殊点,充分利用切点即在曲线方程上,又在切线方程上,切点处的导数等于切线的斜率这些条件列出方程组求解。属于基础题。