上海静安区2012学年第一学期期末教学质量调研九年级数学试卷 2013.1
(完成时间：100分钟 满分：150分 )
闵行、浦东、静安、杨浦、松江等六区联考
考生注意：
1.本试卷含三个大题,共25题.答题时,考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在草稿纸、本试卷上答题一律无效.
2.除第一、二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤.
一、选择题：(本大题共6题,每题4分,满分24分)
1.如果延长线段AB到C,使得,那么AC∶AB等于
(A)2∶1;(B)2∶3;(C)3∶1;(D)3∶2.
2.已知在Rt△ABC中,∠C = 90°,∠A =,AB = 2,那么BC的长等于
(A);(B);(C);(D).
3.如果将抛物线向左平移2个单位,那么所得抛物线的表达式为
(A); (B);
(C); (D).
4.如果抛物线经过点(-1,0)和(3,0),那么它的对称轴是直线
(A)x = 0;(B)x = 1;(C)x = 2;(D)x = 3.
5.如果乙船在甲船的北偏东40°方向上,丙船在甲船的南偏西40°方向上,那么丙船在乙船的方向是
(A)北偏东40°;(B)北偏西40°;(C)南偏东40°;(D)南偏西40°.
6.如图,已知在△ABC中,边BC = 6,高AD = 3,正方形
EFGH的顶点F、G在边BC上,顶点E、H分别在边AB
和AC上,那么这个正方形的边长等于
(A)3;(B)2.5;
(C)2;(D)1.5.
二、填空题：(本大题共12题,每题4分,满分48分)
7.已知线段b是线段a、c的比例中项,且a = 1,b = 2,那么c = ▲ .
8.计算：= ▲ .
9.如果抛物线的开口方向向下,那么a的取值范围是 ▲ .
10.二次函数图像的最低点坐标是 ▲ .
11.在边长为6的正方形中间挖去一个边长为x()的小正方形,如果设剩余部分的面积为y,那么y关于x的函数解析式为 ▲ .
12.已知为锐角,那么= ▲ 度.
13.已知从地面进入地下车库的斜坡的坡度为1︰2.4,地下车库的地坪与地面的垂直距离等于5米,那么此斜坡的长度等于 ▲ 米.
14.小明用自制的直角三角形纸板DEF测量树AB的高 度.测量时,使直角边DF保持水平状态,其延长线交AB
于点G;使斜边DE与点A在同一条直线上.测得边DF离地面的高度等于1.4m,点D到AB的距离等于6m(如图所示).已知DF = 30cm,EF = 20cm,那么树AB的高度等于 ▲ m.
15.如图,将△ABC沿射线BC方向平移得到△DEF,边DE与AC相交于点G,如果BC = 3cm,△ABC的面积等于9cm2,△GEC的面积等于4cm2,那么BE = ▲ cm.
16.相邻两边长的比值是黄金分割数的矩形,叫做黄金矩形,
从外形上看,它最具美感.现在想要制作一张“黄金矩形”的贺年卡,如果较长的一条边长等于20厘米,那么相邻一条边长等于 ▲ 厘米.
17.九年级数学课本上,用“描点法”画二次函数的图像时,列出了如下的表格：
x…01234…
…30–103…
那么该二次函数在= 5时,y = ▲ .
18.已知在Rt△ABC中,∠A = 90°,BC = a,点D在边BC上,将这个三角形沿直线AD折叠,点C恰好落在边AB上,那么BD = ▲ (用a的代数式表示).
三、解答题：(本大题共7题,满分78分)
19.(本题满分10分,其中第(1)小题6分,第(2)小题4分)
已知：抛物线经过B(3,0)、C(0,3)两点,顶点为A.
求：(1)抛物线的表达式;
(2)顶点A的坐标.
20.(本题满分10分,其中第(1)小题6分,第(2)小题4分)
如图,已知在平行四边形ABCD中,M、N分别是边AD、DC的中点,设,.
(1)求向量、(用向量、表示);
(2)求作向量在、方向上的分向量.
(不要求写作法,但要指出所作图中表示结论的向量)
21.(本题满分10分)
某条道路上通行车辆限速为60千米/时,在离道路50米的点P处建一个监测点,道路的AB段为监测区(如图).在△ABP中,已知∠PAB = 32?,∠PBA = 45?,那么车辆通过AB段的时间在多少秒以内时,可认定为超速(精确到0.1秒)?
(参考数据：,)
[来源:学科网ZXXK]
22.(本题满分10分)
如图,在平行四边形ABCD中,点E在边BC上,联结AE并延长,交对角线BD于点F、DC的延长线于点G,如果.
求的值.
23.(本题满分12分,每小题各6分)
已知：如图,在梯形ABCD中,AD // BC,AB⊥BC,点M在边BC上,且∠MDB =∠ADB,.
(1)求证：BM=CM;
(2)作BE⊥DM,垂足为点E,并交CD于点F.
求证：.
24.(本题满分12分,其中第(1)小题3分,第(2)小题4分,第(3)小题5分)
如图,在直角坐标系xOy中,二次函数的图像与x轴、y轴的公共点分别为A(5,0)、B,点C在这个二次函数的图像上,且横坐标为3.
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)求∠BAC的正切值;
(3)如果点D在这个二次函数的图像上,
且∠DAC = 45°,求点D的坐标.
25.(本题满分14分,其中第(1)小题4分,第(2)、(3)小题各5分)
如图,已知在△ABC中,∠A = 90°,经过这个三角形重心的直线DE // BC,分别交边AB、AC于点D和点E,P是线段DE上的一个动点,过点P分别作PM⊥BC,PF⊥AB,PG⊥AC,垂足分别为点M、F、G.设BM = x,四
边形AFPG的面积为y.
(1)求PM的长;
(2)求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域;
(3)联结MF、MG,当△PMF与△PMG相似时,求BM的长.
一、选择题：(本大题共6题,每题4分,满分24分)
1.D; 2.A; 3.C; 4.B; 5.D; 6.C.
二、填空题：(本大题共12题,每题4分,满分48分)
7.4; 8.; 9.; 10.(0,-3); 11.; 12.60;
13.13; 14.5.4; 15.1; 16.(或12.36); 17.8; 18..
三、解答题：(本大题共7题,满分78分)
19.(1)∵ 抛物线经过B(3,0)、C(0,3)两点,[来源:学科网ZXXK]
∴ ………………………………………………… (2分)
解得 …………………………………………………………(2分)
∴ 抛物线的解析式是.……………………………(2分)
(2)由 ,…………………………………(2分)
得顶点A的坐标为(1,4).…………………………………………(2分)
20.(1)∵ M是边AD的中点,∴ .……………………(2分)
∵ 四边形ABCD是平行四边形,∴ DC // AB,DC = AB.
∴ .……………………………………………………(1分)
又∵ N是边DC的中点,∴ . …………………………(1分)
∴ .……………………………………(2分)
(2)作图正确,3分;结论正确,1分.
21.过点P作PC⊥AB,垂足为点C.…………………………………………(1分)
根据题意,可知 PC = 50米.
在Rt△PBC中,∠PCB = 90?,∠B = 45?,
∴ .……………………………………(3分)
在Rt△PAC中,∠PCA = 90?,∠PAB = 32?,
∴ .………………………………(2分)
∴ AB = AC +BC ≈ 80 +50 = 130(米).…………………………………(1分)
∵ (秒),…………………………………………(2分)
∴ 车辆通过AB段的时间在7.8秒以内时,可认定为超速.…………(1分)
22.∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ BC // AD,AB // CD,BC = AD.………………………………………(2分)
∴ ,.………………………………………………(2分)
又∵ ,∴ .……………………………………………(2分)
即得 ,.∴ .…………………………(2分)
∴ .[来源:Zxxk.Com]
即得 .……………………………………………………………(2分)
23.证明：(1)∵ AB⊥BC,∴ ∠ABC = 90?.
∵ AD // BC,∴ ∠CBD =∠ADB,∠BAD +∠ABC = 180?.
即得 ∠BAD = 90?.
∵ ,∴ .……………………………(1分)
又∵ ∠CBD =∠ADB,
∴ △BCD∽△DBA.………………………………………………(1分)
∴ ∠BDC =∠BAD = 90?.…………………………………………(1分)
∴ ∠DBC +∠C = 90?.
∵ ∠MDB=∠ADB,∠MBD =∠ADB,
∴ ∠MBD =∠MDB.∴ BM = MD.……………………………(1分)
又∵ ∠BDM +∠CDM =∠BDC = 90?,
∴ ∠C =∠CDM.…………………………………………………(1分)
∴ CM = MD.∴ BM = CM.……………………………………(1分)
(2)∵ BE⊥DM,
∴ ∠DEF =∠BDC = 90?.
∴ ∠FDE +∠DFE = 90?,∠DBF +∠DFE = 90?.
∴ ∠FDE =∠DBF.………………………………………………(1分)
又∵ ∠FDE =∠C,
∴ ∠DBF =∠C. …………………………………………………(1分)
于是,由 ∠FDB =∠BDC = 90?,∠DBF =∠C,
得 △FDB∽△BDC.………………………………………………(1分)
∴ .即 .……………………………(1分)
∵ BM = CM,∠BDC = 90?,∴ BC = 2DM.…………………(1分)
又∵ ,
∴ .…………………………………………(1分)[来源:学科网ZXXK]
24.(1)∵ 二次函数的图像经过点A(5,0),
∴ . ……………………………………………(1分)
解得 .…………………………………………………………(1分)
∴ 二次函数的解析式是.………………………(1分)
(2)当 x = 0时,得 y = 5.∴ B(0,5).……………………………(1分)
当 x = 3时,得 ,∴ C(3,6).……(1分)
联结BC.
∵ ,
,
,
∴ .
∴ .……………………………………………………(1分)
∴ .……………………………………(1分)
(3)设D(m,n).
过点D作DE⊥x轴,垂足为点E.则 ,DE = n.
∵ A(5,0),B(0,5),∴ OA = OB.
又∵ ,∴ ,……………………………(1分)
即得 ∠DAE +∠BAD = 45? .
又∵ ∠DAC = 45?,即 ∠BAD +∠BAC = 45?,
∴ ∠DAE =∠BAC.
又∵ ∠DEA =∠ACB = 90?,
∴ △DAE∽△BAC.…………………………………………………(1分)
∴ .……………………………………………………(1分)
∴ .即得 .
∵ 点D在二次函数的图像上,
∴ .
解得 ,m2 = 5(不合题意,舍去).………………………(1分)
∴ .
∴ .……………………………………………………(1分)
25.(1)过点A作AH⊥BC,垂足为点H,交DE于点Q.
∵ ∠BAC = 90°,∴ BC = 6.…………………(1分)
又∵ AH⊥BC,∴ ,Q是△ABC的重心.
∴ .…………………………………………………(2分)
∵ DE // BC,PM⊥BC,AH⊥BC,
∴ PM = QH = 1.……………………………………………………(1分)
(2)延长FP,交BC于点N.
∵ ∠BAC = 90°,AB = AC,∴ ∠B = 45°.
于是,由 FN⊥AB,得 ∠PNM = 45°.
又由 PM⊥BC,得 MN = PM = 1,.[来源:Z*xx*k.Com]
∴ BN = BM +MN = x +1,.…………………(1分)
∴ ,
.…………………(1分)
∵ PF⊥AB,PG⊥AC,∠BAC = 90°,∴ ∠BAC =∠PFA =∠PGA = 90°.
∴ 四边形AFPG是矩形.
∴ ,……………………………(1分)
即 所求函数解析式为.…………………………(1分)
定义域为.……………………………………………………(1分)
(3)∵ 四边形AFPG是矩形,∴ .…………(1分)
由 ∠FPM =∠GPM = 135°,可知,当△PMF与△PMG相似时,有两种
情况：∠PFM =∠PGM或∠PFM =∠PMG.
(ⅰ)如果 ∠PFM =∠PGM,那么 .即得 PF = PG.
∴ .………………………………………(1分)
解得 x = 3.即得 BM = 3.………………………………………(1分)
(ⅱ)如果 ∠PFM =∠PMG,那么 .即得 .
∴ .………………………………………(1分)
解得 ,.
即得 或.………………………………(1分)
∴ 当△PMF与△PMG相似时,BM的长等于或3或.