如图,在正方形ABCD中,AB=2,点P是CD上一动点,连接PA交BD于点E,过点E作EF⊥AP交BC于点F,过点F作F

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  • 解题思路:(1)作辅助线,延长FE交AD于点L,连接CE,通过证明△ADE≌△CDE,可得:AE=CE,故需证明EC=EF,可证:AE=EF;

    (2)由EF⊥AP,AE=EF,可得:∠FAP=45°;

    (3)作辅助线,连接AC交BD于点O,证BD=2EG,只需证OA=GE即可,根据△AOE≌△EGP,可证OA=GE,故可证BD=2EG;(4)作辅助线,延长AD至点M,使DM=AD,过点C作CI∥FL,则IL=FC,可证AL=FE,再根据△MEC≌△MIC,可证:CI=IM,故△CEM的周长为边AM的长,为定值.

    (1)连接FP,EC,延长FE交AD于点L.

    ∵BD为正方形ABCD的对角线,

    ∴∠ADB=∠CDE=45°.

    ∵AD=CD,DE=DE,

    ∴△ADE≌△CDE.

    ∴EC=AE,∠PCE=∠DAE.

    ∵∠ALF+∠LAE=90°,

    ∴∠LFC+∠DAE=90°.

    ∵∠PCE=∠DAE,

    ∴∠EFC=∠ECF,

    ∴EF=EC.

    ∴EF=AE.

    (2)∵EF⊥AP,EF=AE,

    ∴∠FAP=45°.

    (3)连接AC交BD于点O,可知:BD=2OA,

    ∵∠AEO+∠GEF=∠GFE+∠GEF,

    ∴∠AEO=∠GFE.

    ∵AE=FE,∠AOE=∠EGF=90°,

    ∴△AOE≌△EGF.

    ∴OA=GE.

    ∵BD=2OA,

    ∴BD=2EG.

    (4)延长AD至点M,使DM=AD,过点C作CI∥FL,则:LI=FC,

    根据△MPC≌△MIC,可得:CP=IM,

    同理,可得:AL=FP,

    ∴FP+FC+PC=AL+LI+IM=AM=4.

    ∴△CPM的周长为4,为定值.

    故(1)(2)(3)(4)结论都正确.

    故选D.

    点评:

    本题考点: 正方形的性质;全等三角形的判定与性质.

    考点点评: 解答本题要充分利用正方形的特殊性质,在解题过程中要多次利用三角形全等.