Question

以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的最大面积为1,则长轴长的最小值为

Answer 1

设椭圆的方程为x^2/a^2＋y^2/b^2＝1.

P（acosθ,bsinθ）为椭圆上的一点,F1、F2是两焦点,则：

F1F2＝2c＝2√（a^2－b^2）,　∴△PF1F2的面积＝b√（a^2－b^2）sinθ.

很明显,要使△PF1F2的面积最大,就需要sinθ＝1,　∴此时有：b√（a^2－b^2）＝1,

∴a^2－b^2＝1/b^2,　∴a^2＝b^2＋1/b^2≧2,　∴a≧√2,　∴2a≧2√2.

即：满足条件的椭圆长轴长的最小值为2√2.