1、此题不好想,的确是一个难题,如果学过必修4也会好想一些,因为单位圆（就是x²+y²=1）和三角函数线是直接相关的,没学过必修4的话这道题根本就是不可解的题目（因为中间涉及三角函数的计算）.解法似乎只此一种,因为不假设点的坐标的话就无从计算重心位置
设点B的坐标(cosθ,sinθ)（0＜θ＜5π/3,不在这个范围内的话ABC就不是逆时针排列了,不信你画个图试试）
则点C的坐标(cos(θ+π/3),sin(θ+π/3))
设三角形ABC重心G(x,y)
x=[1+cosθ+cos(θ+π/3)]/3……①
y=[0+sinθ+sin(θ+π/3)]/3……②
（这两个方程是由重心公式得到的,三角形的各点为（x1,y1）、（x2,y2）、（x3,y3）时,其重心的坐标是（（x1+x2+x3）/3,（y1+y2+y3）/3）,这是很显然的,因为重心是三边中垂线的交点）
①²+②²得到（3x-1）²+（3y）²=2+2cosπ/3=3
所以圆的轨迹方程就是（x-1/3）²+y²=1/3
2、
设割线交圆C于A、B两点,M为AB中点,AB就是所求的中点
方法一：
x²+y²-2x+10y+4=0即（x-1）²+（y+5）²=22
∵CM⊥PM
∴弦AB的中点M的轨迹是以P（-8,0）、C（1,-5）中点为圆心,|PC|长为直径的圆.
∴所求轨迹方程为（x+7/2）²+（y+5/2）²=53/2 （圆C的内部）
方法二：
设M（x,y）
则向量CM=（x-1,y+5）,向量PM=（x+8,y）
∵向量CM⊥向量PM
∴向量CM点乘向量PM=0
∴（x-1）（x+8）+y（y+5）=0
∴所求轨迹方程为（x+7/2）²+（y+5/2）²=53/2 （圆C的内部）
此题不建议直接解方程组x²+y²-2x+10y+4=0……①y=k(x+8)……②,会很难以计算
3、（2）设中点M的坐标为(x,y),连结CM,CP,
知P（1,1）在直线l也即弦AB上.
∵C(0,1),P(1,1),|CM|²+|PM|²=|CP|²,
∴x²+(y─1)²+(x─1)²+(y─1)²=1
整理得轨迹方程为：x²+y²─x─2y+1=0 (x≠1)
（3）设A(x1,y1),B(x2,y2),由AP/PB=1/2,得：（x2+2x1）/（1+2）=1……①,
又由直线方程和圆的方程联立消去y得：(1+m²)x²─2m²x+m²─5=0 (*)
,故x1+x2=2m²/（1+m²）……②,
由①、②得x1=（3+m²）/（1+m²）,代入(*)解得：m=±1.
∴直线l的方程为x─y=0或x+y─2=0.