Question

设函数f(x）=x3+ax2-a2x+m(a>0)若对任意的a∈【3,6】,使得不等式f(x)≤1在x∈【-2,2】上恒

Answer 1

求导函数可得：f′（x）=3x²+2ax-a²,

令f′（x）=0,即（3x-a）（x+a）=0,所以x=-a或x=a/3

∵a∈[3,6],x∈[-2,2],

令导数大于0可得x＜-a或x＞a/3

令导数小于0可得-a＜x＜a/3‍

,又-a≤-3,

a3

∈[1,2]

∴极大值点不在取值范围内,而极小值点在取值范围内．

∴要使不等式f（x）≤1在x∈[-2,2]上恒成立,只要保证x=-2与x=2时的函数值f（x））≤1就可以了．

∵f（-2）=-8+4a+2a²+m,f（2）=8+4a-2a²+m,a∈[3,6],

作差比较得f（-2）＞f（2）

∴只要f（-2）≤1即可

即：）=-8+4a+2a²+m≤1,m≤-2a²-4a+9

由a∈[3,6]得,-2a²-4a+9的最小值为-87

∴m≤-87