Question

正四面体ABCD，棱长为1米，一条虫子从顶点A开始爬行，在每一顶点，它等可能选择三棱之一，沿这棱到其它顶点，记a n 是

Answer 1

小虫从点A出发，一共分3步走，假设第一步到B，则第二部有三种走法，若回到A，则第三步都回不到A，若第二部不到A，可以到C或D，到达下一个顶点后又有三种走法，只有一种能回到A．其它类同．

所以虫子从A开始爬行了3米回到A的概率为a ₃=

2

9 ；

n=4：（若第三次爬回去，则第四次就不能会到A）

a 4 =

1

3 (1- a 3 )=

1

3 (1-

2

9 )=

7

27 ．

n=5：（若第四次爬回去，则第五次就不能会到A）

a 5 =

1

3 (1- a 4 ) =

1

3 (1-

7

27 )=

20

81 ．

…

所以 a n =

1

3 (1- a n-1 )=

1

3 (1-

1

4 -

1

4• 3 n-2 )

=

1

4 +(-

1

3 ) n

3

4 ．故答案为

2

9 ，

1

4 +(-

1

3 ) n

3

4 ．