函数f(x)=cos^2(x+π/12),g(x)=1+1/2sin2x.①设x=x1是函数一条对称轴,求g(x)值②求函数h(x)=f(x)+g(x)的单调递增区间.(1)
f(x)＝cos²(x＋π/12)＝1/2[1＋cos(2x＋π/6)]
∵x＝x1是函数y＝f(x)图像的一条对称轴
∴2x1＋π/6＝kπ
即2x1＝kπ－π/6(k∈Z)
∴g(x1)＝1＋1/2sin2x1＝1＋1/2sin(kπ－π/6)
当k为偶数时,g(x1)＝1＋1/2sin(－π/6)＝1－1/4＝3/4
当k为奇数时,g(x1)＝1＋1/2sin(π/6)＝1＋1/4＝5/4
(2)
h(x)＝f(x)＋g(x)
＝1/2[1＋cos(2x＋π/6)]＋1＋1/2sin2x
＝1/2[cos(2x＋π/6)＋sin2x]＋3/2
＝1/2(√3/2•cos2x＋1/2sin2x)＋3/2
＝1/2sin(2x＋π/3)＋3/2
当2kπ－π/2 ≤ 2x＋π/3 ≤2kπ＋π/2
即kπ－5π/12 ≤ x ≤kπ＋π/12(k∈Z)时
函数h(x)＝1/2sin(2x＋π/3)＋3/2是增函数
故函数h(x)的单调增区间是[kπ－5π/12,kπ＋π/12](k∈Z)
2.已知函数f(x)＝1/2cos^2x+根号3/2乘以sinxcosx+1.x属于R.
①求最小正周期
②求函数在【π/12,π/4】上的最大值和最小值,并求函数取得最大值和最小值时的自变量x的值.f(x)=1/2cos^2x+[(根号3)/2]sinxcosx+1
=1/4cos2x+1/4+根号3/4sin2x+1
=1/2(sin(pi/6)cos2x+cos(pi/6)sin2x)+5/4
=1/2sin(pi/6+2x)+5/4
0<=pi/6+2x<=pi -pi/12<=x<=5pi/12
[π/12,π/4] ->pi/6+2x范围 [pi/3,2pi/3]
最大值 pi/6+2x=pi/2 x=pi/6 f(x)=1/2+5/4=7/4
最小 pi/6+2x=pi/3 x=pi/12 f(x)=(根号3+5)/4
or pi/6+2x=2pi/3 x=pi/4 f(x)=(根号3+5)/4