Question

如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中．AB=AA1，D是BC上的一点，且AD⊥C1D，

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）连接A₁C交AC₁于E点，利用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理即可得出；

（II）在棱CC₁上存在一点P，P为CC₁的中点，使直线PB₁⊥平面AC₁D．利用正三棱柱的性质和正三角形的性质可得AD⊥B₁P．

在正方形BCC₁B₁中，可得△CC₁D≌△C₁B₁P，即可证明B₁P⊥C₁D．再利用线面垂直的判定定理即可证明．

证明：（Ⅰ）连接A₁C交AC₁于E点，

则AE=EC₁．

∵CC₁⊥AD，且AD⊥C₁D，CC₁∩C₁D=C₁，

∴AD⊥侧面BCC₁B₁，∴AD⊥BC．

∵△ABC是正三角形，∴D是BC的中点．

∴ED∥A₁B．

∵A₁B⊄平面AC₁D，ED⊂AC₁D．

∴A₁B∥平面AC₁D．

（Ⅱ）在棱CC₁上存在一点P，P为CC₁的中点，使直线PB₁⊥平面AC₁D．下面给出证明：

由正三棱柱ABC-A₁B₁C₁．可得CC₁⊥平面ABC，∴CC₁⊥AD．

又AD⊥C₁D，∴AD⊥BC．

∵C₁D∩CC₁=C₁，∴AD⊥平面BCC₁B₁，∴AD⊥B₁P．

∵△ABC是正三角形，∴D为边BC的中点．

在正方形BCC₁B₁中，可得△CC₁D≌△C₁B₁P，

∴∠CC₁D=∠C₁B₁P．∴∠CC1D+∠C1PB1＝90°，∴B₁P⊥C₁D．

∵AD∩DC₁=D，∴B₁P⊥平面AC₁D．

点评：

本题考点： 直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．

考点点评： 熟练掌握线面平行于垂直的判定定理于性质定理、三角形的中位线定理、正三棱柱的性质、正三角形的性质、正方形的性质、三角形全等的性质等是解题的关键．