Question

已知,在四边形ABCD中,AD‖BC,∠BAC=∠D,点E、F分别在BC、CD上,且∠AEF=∠ACD,

Answer 1

(1)△ABC中,AB=BC=AC,所以△ABC为正三角形,

所以∠B=∠BAC=∠ACB=60

因为∠BAC=∠D,且∠DCB+∠D=180,所以∠DCB+∠B=180,所以AB//CD.

所以∠ACD=∠CAB=60.

因为∠AEF=∠ACD,所以∠AEF=60.

设AC和EF交于O,

△AOE和△FOC中,∠AEO=∠FCO,∠AOE=∠FOC,

所以△AOE∽△FOC.

所以AO/OC=FO/OE

在△AOF和△EOC中,AO/OC=FO/EO,且∠AOF=∠EOC,

所以△AOF∽△EOC.所以∠AFO=∠ECO

（或通过A,E,C,F四点共圆,证明两角相等）

因为∠OCE=60,所以∠AFO=60

△AEF中,∠AEF=∠AFE=60,所以△AEF为正三角形,所以AE=EF.

(2)同题（1）中证明,∠AFE=∠ACB （1）

因为AD//BC,所以∠D+∠ACD+∠ACB=180

△AEF中,∠EAF+∠AEF+∠AFE=180

已证明∠AFE=∠ACB,又因为已知∠AEF=∠ACD

所以,∠FAE=∠D

因为∠D=∠CAB,所以∠BAC=∠FAE （2）

因为AB=BC,所以∠BCA=∠BAC,

因为（1）（2）,所以∠EAF=∠AFE

所以AE=EF.