Question

问道高数极限的题,求当X→PI/4时,tanX的tan2X次方的极限

Answer 1

tan2x = 2tanx / [ 1-(tanx)^2 ]

令y = tanx,则X→PI/4时,y→1

原题变为：y→1时,y^( 2y / (1-y^2) )的值

对式子取ln（自然对数）,得：

(lim y→1) ln [ y^( 2y / (1-y^2) ) ]

=(lim y→1) 2y/(1-y^2) * lny

=(lim y→1) 2*y*lny / ( 1 - y^2 )

=(lim y→1) (2lny + 2(y/y)) / (-2y) ………… 此处利用了洛必达法则,分子分母同时取导数

= (0+2) / (-2)

= -1

所以：

原式 = (lim y→1) [ y^( 2y / (1-y^2) ) ]

= e^(-1)

= 1/e