Question

函数y=f（x）在区间（0，+∞）内可导，导函数f′（x）是减函数，且f′（x）＞0．设x0∈（0，+∞），y=kx+m

Answer 1

解题思路：（I）先利用点斜式表示出切线方程，然后根据切线方程与y=kx+m是同一直线建立等式关系，求出m即可；

（II）比较g（x）与f（x）的大小可利用作差比较，构造函数h（x）=g（x）-f（x），然后利用导数研究函数h（x）的单调性，求出函数h（x）的最小值，即可证得结论．

（Ⅰ） y-f（x₀）=f'（x₀）（x-x₀）

∴m=f（x₀）-x₀f'（x₀）．

（Ⅱ）证明：令h（x）=g（x）-f（x），则h'（x）=f'（x₀）-f'（x），h'（x₀）=0．

因为f'（x）递减，所以h'（x）递增，因此，当x＞x₀时，h'（x）＞0；

当x＜x₀时，h'（x）＜0．所以x₀是h（x）唯一的极值点，且是极小值点，

可知h（x）的最小值为0，因此h（x）≥0，即g（x）≥f（x）．

点评：

本题考点： 利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及比较两函数的大小，比较大小常常运用作差法进行比较，属于中档题．