（1）令－ 1 2 x＋b＝0,得x＝2b ∴D（2b,0）,OD＝2b 令－ 1 2 x＋b＝ 6 x ,得
x 2－2bx＋12＝0 ∴x1＝b－b 2－12 ,x2＝b＋b 2－12 作AM⊥y轴于M,作BN⊥x轴于N
则AM＝b－b 2－12 ,ON＝b＋b 2－12 ∴DN＝OD－ON＝2b－( b＋b 2－12 )＝b－b 2－12
∴AM＝DN ∵AM⊥y轴,∴AM∥x轴 ∴∠CAM＝∠BDN,∴Rt△CAM≌Rt△BDN
∴AC＝BD又∵AB＝2AC,∴AB＝ 1 2 CD∴x2－x1＝ 1 2 OD＝b
∵x2－x1＝b＋b 2－12 －( b－b 2－12 )＝2b 2－12 ∴b＝2b 2－12 ,解得b＝4
（2）∵OC＝b,OD＝2b,∴CD＝OC 2＋OD 2 ＝5b∴CD＝5OC由（1）知,一次函数为
y＝ x＋4 ∴OC＝4∵点P的横坐标为x,∴P（x,6 x ）,Q（x,－ 1 2 x＋4）
∴PQ＝－ 1 2 x＋4 － 6 x ∵PQ∥y轴,PR∥x轴,∴∠PQR＝∠OCD
∴Rt△PQR∽Rt△OCD,∴ QR PQ ＝ CD OC ＝5
∴L＝QR＝5PQ＝5(－ 1 2 x＋4 － 6 x )＝－ 5 2 x－ 65 x ＋4 5
∵L＝－ 5 2 x－ 65 x ＋4 5＝－ 5 2 (x－ 23 x ) 2＋4 5－2 15
∴当 x＝ 23 x ,即x＝2 3 时L有最大值为4 5－2 15
（3）AE＜AG 理由：∵S△OAE ＝S△OBF ＝ 1 2 k＝3
∴S矩形OEGF ＝S四边形OAGB ＋ S△OAE ＋ S△OBF ＝8＋3＋3＝14即OE•OF＝14,∴6 x1 •x2＝14
∴x2＝ 7 3 x1,即EG＝ 7 3 AE ∴AE＝ 3 7 EG,AE＝ 4 7 EG ∴AE＜AG