31^2008 =(26+5)^2008 mod 13 同余于5^2008
5^2008=25^1004=(26-1)^1004 mod 13 余 -1
2008^31=(154*13+6)^31 mod 13 同余于 6^31
6^30=36^15=(26+10)^15 mod 13 同余于 10^15
10^14=100^7=(13*7+9)^7 mod 13 同余于 9^7
9^6=81^3=(13*6+3)^3 mod 13 同余于3^3
3^3=27 mod 13 =1
由于前面分别少乘了9、10、6,则
1*9*10*6=540 mod 13 =7
7+(-1)=6
31的2008次方+2008的31次方 mod 13 =6