体积比1:27
设正四面体为PABC,由于对称,两球球心重叠,设为O.
设正四面体为PABC的内切球半径为r.
设PO的延长线与底面ABC的交点为D,则PD为正四面体PABC的高,其垂直于底面ABC,且PO=R,OD=r,OD=正四面体PABC内切球的高.
设正四面体PABC底面面积为S.
将球心O与四面体的4个顶点PABC全部连结,可以得到4个全等的正三棱锥,体心为顶点,以正四面体面为底面.
每个正三棱锥体积V1=1/3*S*r
而正四面体PABC体积V2=1/3*S*（R+r）
根据前面的分析,4*V1=V2
所以,4*1/3*S*r=1/3*S*（R+r）
所以,R=3r
由于球体积公式为V=（4/3）лr^3
故正四面体外接球与内切球体积之比=1:27