解题思路：（1）由
a
n+1
＝
a
n
1+2
a
n
，得an-an+1=2anan+1，两边同除以anan+1得，[1
a
n+1
−
1
a
n
＝2，由此能够证明数列{
1
a
n
}是等差数列．
（2）由
1
a
n
＝1+2(n−1)＝2n−1
，知
a
n
＝
1/2n−1]．
（3）因为对一切n∈N*，有a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=2n，当n≥2时，a1b1+a2b2+a3b3+…+an-1bn-1=2n-1，当n≥2时，anbn=2n-1，又
a
n
＝
1
2n−1
，所以bn=（2n-1）2n-1，由此能够求出数列{bn}的通项公式．
（1）由an+1＝
an
1+2an，
得an+1+2anan+1=an，
即an-an+1=2anan+1
两边同除以anan+1，
得，
1
an+1−
1
an＝2，
又
1
a1＝1，
所以数列{
1
an}是首项为1，公差为2的等差数列．
（2）由（1）
1
an＝1+2(n−1)＝2n−1，
所以数列{an}的通项公式an＝
1/2n−1]
（3）因为对一切n∈N*，
有a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=2n①
所以当n≥2时，a1b1+a2b2+a3b3+…+an-1bn-1=2n-1②
①-②得，当n≥2时，
anbn=2n-1，
又an＝
1
2n−1，
所以bn=（2n-1）2n-1
又n=1时，a1b1=21，a1=1，
所以b1=2；
综上得bn＝
2
，&n＝1
(2n−1)•2n−1，n≥2．
点评：
本题考点： 数列的求和；函数恒成立问题；数列的函数特性；等差关系的确定．
考点点评： 本题考查等差数列的证明和数列通项公式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
1年前
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