圆O的半径为12/7
设圆O半径为r,圆O与AB,BC两边的切点为E,F,过圆O做OG‖BC交AC于G连接OA,OB,OC
∵圆O与AB、BC相切
∴OE⊥AB,OF⊥BC
∵∠C=90° OG‖BC
∴OG⊥AC
∴OE,OF,OG分别为△AOB,△BOC,△COA的高
∵∠C=90° CD=4,AC=6,AD为BC边的中线
∴AB=10(根据勾股定理)
∵∠C=90° OF⊥BC OG⊥AC
∴四边形OGCF为矩形
∴OF=CG=r
∴AG=6-r
∵OG‖BC ∠CAD公用
∴△AGO∽△ACD
∴AG/OG=AC/CD
∴OG=2/3·(6-r)
∵△ABC的面积=△AOB面积+△BOC面积+△COA面积
△ABC的面积=1/2·AC·BC
△AOB的面积=1/2·OE·AB
△BOC的面积=1/2·OF·BC
△COB的面积=1/2·OG·AC
∴AC·BC=OE·AB+OF·BC+OG·AC
∴6×8=10r+8r+6×2/3·(6-r)
解得r=12/7
所以圆O的半径为12/7