Question

如何证明?利用夹逼准则证明lim(n趋于正无穷） n/a^n=0（a>1);

Answer 1

若a=0,结论不言而喻,所以只讨论a≠0.

【方法一】存在N＞2|a|,

记M=|a|^N/N!,当n＞N时,|a|^n/n!=M*[|a|/(N+1)]*[|a|/(N+2)]*……*[|a|/(n)]＜M*(1/2)*(1/2)*……*(1/2)

=M/2^(n-N),

当n＞N时,0＜|a|^n/n!＜M/2^(n-N),

而 lim(n→∞)[M/2^(n-N)]=0,

由夹逼准则知：lim(n→∞)〔a的n次方/n!〕=0.

【方法二】利用级数更简单：∑(n:0→∞)〔a的n次方/n!〕=e^a ,

根据级数收敛的必要条件 lim(n→∞)〔a的n次方/n!〕=0.