Question

已知正三棱柱ABC-A1B1C1，底面边长为8，对角线B1C=10，（1）若D为AC的中点，求证：AB1∥平面C1BD；

Answer 1

（1）连接B₁C，设B₁C与BC₁交于点E，连接DE，

则E为B₁C中点，又D为AC的中点，

∴DE是△CAB₁的中位线，

∴DE∥AB₁，

又DE?平面BDC₁，AB₁?平面C₁BD，

∴AB₁∥平面C₁BD．

（2）λ=1时，AP∥平面C₁BD；

证明如下：连接PC，设PC与BC₁交于点F，连接DF．

当λ=1时，P为B₁B中点，C₁C：PB=CF：FP=2：1，

又CD=2AD，∴CF：FP=CD：AD=2：1．

∴DF∥AP，

又DF?平面BDC₁，AP?平面C₁BD，

∴AP∥平面C₁BD．

（3）由（1）当D为AC的中点时，AB₁∥平面C₁BD；

∴点A到平面C₁BD的距离等于直线AB₁到平面C₁BD的距离，记为h．

正三棱柱的高C₁C=

B1C2? B1C12=

102?82=6．

由正三棱柱性质可知面CC₁⊥面ABC，BD?面ABC，∴CC₁⊥BD．

又在正三角形ABC中，D为AB中点，∴AC⊥BD，

∵AC∩CC₁=C，∴，BD⊥面A₁ACC₁，DC₁?面A₁ACC₁，∴BD⊥DC₁，

∴△BDC₁是直角三角形．

∵S_△ABD=[1/2]AD×BD=[1/2]AD×

AB2?AD2=[1/2]×4×

82?42=8

3．

C₁D=