如图,在△ABC中,∠A=60°,BE⊥AC,垂足为E,CF⊥AB,垂足为F,点D是BC的中点,BE,CF交于点M.

5个回答

  • 解题思路:(1)先判定△ABC是等边三角形,再根据等腰三角形三线合一的性质可得EF=ED=DF,从而可得△DEF是等边三角形;

    (2)先根据直角三角形两锐角互余的性质求出∠ABE=∠ACF=30°,再根据三角形的内角和定理求出∠BCF+∠CBE=60°,然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BDF+∠CDE=120°,从而得到∠EDF=60°,再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE=DF,根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形即可证明;

    (3)根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可得BM=2FM,ME=[1/2]CM,然后代入数据进行计算即可求解.

    (1)证明:∵∠A=60°,AB=AC,

    ∴△ABC是等边三角形,

    ∵BE⊥AC,垂足为E,CF⊥AB,垂足为F,

    ∴E、F分别是AC、AB边的中点,

    又∵点D是BC的中点,

    EF=[1/2]BC,DE=[1/2]AB,DF=[1/2]AC,

    ∴EF=ED=DF,

    ∴△DEF是等边三角形;

    (2)△DEF是等边三角形.

    理由如下:∵∠A=60°,BE⊥AC,CF⊥AB,

    ∴∠ABE=∠ACF=90°-60°=30°,

    在△ABC中,∠BCF+∠CBE=180°-60°-30°×2=60°,

    ∵点D是BC的中点,BE⊥AC,CF⊥AB,

    ∴DE=DF=BD=CD,

    ∴∠BDF=2∠BCF,∠CDE=2∠CBE,

    ∴∠BDF+∠CDE=2(∠BCF+∠CBE)=2×60°=120°,

    ∴∠EDF=60°,

    ∴△DEF是等边三角形;

    (3)∵∠A=60°,BE⊥AC,CF⊥AB,

    ∴∠ABE=∠ACF=90°-60°=30°,

    ∴BM=2FM=2×5=10,ME=[1/2]CM=[1/2]×4=2,

    ∴BE=BM+ME=10+2=12.

    点评:

    本题考点: 等边三角形的判定;勾股定理.

    考点点评: 本题主要考查了等边三角形的判定与性质,等腰三角形三线合一的性质,直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质,仔细分析图形并熟练掌握性质是解题的关键.