Question

在平面直角坐标系xoy中，设点F（1，0），直线l：x=-1，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，RQ⊥FP，

Answer 1

（Ⅰ）依题意知，直线l的方程为：x=-1，设直线l与x轴交于点K（-1，0），由OK平行于直线l可得，

OR是△FPK的中位线，故点R是线段FP的中点．

又RQ⊥FP，∴RQ是线段FP的垂直平分线．∴|PQ|是点Q到直线l的距离．

∵点Q在线段FP的垂直平分线，∴|PQ|=|QF|．

故动点Q的轨迹E是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程为：y ²=4x（x＞0）．

（Ⅱ）设A（x _A，y _A），B（x _B，y _B），M（x _M，y _M），N（x _N，y _N），直线AB的方程为y=k（x-1）

则

y A 2 =4 x A (1)

y B 2 =4 x B (2) （1）-（2）得 y A + y B =

4

k ，即 y M =

2

k ，

代入方程y=k（x-1），解得 x M =

2

k 2 +1 ． 所以点M的坐标为 (

2

k 2 +1 ，

2

k ) ．

同理可得：N的坐标为（2k ²+1，-2k）． 直线MN的斜率为 k MN =

y M - y N

x M - x N =

k

1- k 2 ，

方程为； y+2k=

k

1- k 2 (x-2 k 2 -1) ，整理得y（1-k ²）=k（x-3），

显然，不论k为何值，（3，0）均满足方程，所以直线MN恒过定点R（3，0）．