Question

已知数列{an} 满足an+1=3an-4n+4，n∈N*，且a1=2．若bn=an-2n+1，n

Answer 1

解题思路：（1）根据an+1=3an-4n+4，n∈N*得an+1-2（n+1）+1=3an-6n+3，从而bn+1=3bn（n∈N*），根据等比数列的定义可得结论；（2）先求出数列{an}的通项公式，然后将数列看成由等差数列和等比数列的和，利用分组求和法进行求和，从而可求出所求．

（1）由a_n+1=3a_n-4n+4，n∈N^*得

a_n+1-2（n+1）+1=3a_n-6n+3又b_n=a_n-2n+1，n∈N^*，

故有b_n+1=3b_n（n∈N^*）则

bn+1

bn=3（n∈N^*）

∴{b_n}为等比数列；

（2）∵{b_n}为等比数列，且b₁=1，公比为3，

∴b_n=3^n-1

∴a_n=2n-1+3^n-1

数列{a_n}的前n项和S_n=

n(1+2n−1)

2+

1×(1−3n)

1−3=n²+

3n−1

2

点评：

本题考点： 数列的求和；等比关系的确定．

考点点评： 本题主要考查了等比数列的判定，以及利用分组求和法，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．