解题思路:(1)利用线面平行的判定,先证明AO∥BF,∴AO∥平面BCE;
(2)先证明AO⊥CD,AO⊥DE,利用线面垂直的判定定理,可得AO⊥平面CDE;
(3)取CE中点F,连接BF,DF,证明DF⊥平面CBE,可得∠DBF就是求直线BD与平面BEC所成角,从而可得其正弦值.
(1)证明:取CE中点F,连接BF,OF,∵O为CD的中点,
∴OF
∥
.DE,
∵AB∥DE,AC=AD=CD=DE=2,AB=1,∴OF
∥
.AB,
∴四边形ABFO为平行四边形,∴AO∥BF,
BF⊂面BCE,AO⊄面BCE,
∴AO∥平面BCE;
(2)证明:∵AC=AD,O为CD的中点,
∴AO⊥CD,
∵DE⊥平面ACD,AO⊂平面ACD,
∴AO⊥DE,
∵CD∩DE=D,
∴AO⊥平面CDE;
(3)取CE中点F,连接BF,DF,则AB∥DE且AB=[1/2]DE,
在△CDE中,OF∥DE且OF=[1/2]DE,
∴AB∥OF且AB=OF,
∴四边形ABFO是平行四边形,
∴BF∥AO,
∵AO⊥平面CDE,
∴BF⊥平面CDE,
∴BF⊥DF.
∵CD=DE,
∴DF⊥CE,
∵BF∩CE=F,
∴DF⊥平面CBE,
∴∠DBF就是求直线BD与平面BEC所成角.
在△BDF中,DF=
2,BD=
5,
∴sin∠DBF=
10
5,
∴直线BD与平面BEC所成角的正弦值
10
5.
点评:
本题考点: 直线与平面所成的角;直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定.
考点点评: 本题考查线面平行,线面垂直,考查线面角,考查学生分析解决问题的能力,正确作出线面角是关键.