(2014•河西区一模)已知多面体ABCDE中,DE⊥平面ACD,AB∥DE,AC=AD=CD=DE=2,AB=1,O为

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  • 解题思路:(1)利用线面平行的判定,先证明AO∥BF,∴AO∥平面BCE;

    (2)先证明AO⊥CD,AO⊥DE,利用线面垂直的判定定理,可得AO⊥平面CDE;

    (3)取CE中点F,连接BF,DF,证明DF⊥平面CBE,可得∠DBF就是求直线BD与平面BEC所成角,从而可得其正弦值.

    (1)证明:取CE中点F,连接BF,OF,∵O为CD的中点,

    ∴OF

    .DE,

    ∵AB∥DE,AC=AD=CD=DE=2,AB=1,∴OF

    .AB,

    ∴四边形ABFO为平行四边形,∴AO∥BF,

    BF⊂面BCE,AO⊄面BCE,

    ∴AO∥平面BCE;

    (2)证明:∵AC=AD,O为CD的中点,

    ∴AO⊥CD,

    ∵DE⊥平面ACD,AO⊂平面ACD,

    ∴AO⊥DE,

    ∵CD∩DE=D,

    ∴AO⊥平面CDE;

    (3)取CE中点F,连接BF,DF,则AB∥DE且AB=[1/2]DE,

    在△CDE中,OF∥DE且OF=[1/2]DE,

    ∴AB∥OF且AB=OF,

    ∴四边形ABFO是平行四边形,

    ∴BF∥AO,

    ∵AO⊥平面CDE,

    ∴BF⊥平面CDE,

    ∴BF⊥DF.

    ∵CD=DE,

    ∴DF⊥CE,

    ∵BF∩CE=F,

    ∴DF⊥平面CBE,

    ∴∠DBF就是求直线BD与平面BEC所成角.

    在△BDF中,DF=

    2,BD=

    5,

    ∴sin∠DBF=

    10

    5,

    ∴直线BD与平面BEC所成角的正弦值

    10

    5.

    点评:

    本题考点: 直线与平面所成的角;直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定.

    考点点评: 本题考查线面平行,线面垂直,考查线面角,考查学生分析解决问题的能力,正确作出线面角是关键.