解题思路：（1）确定函数的定义域，确定导数的正负，可得f（x）的单调性；
（2）利用函数φ（x）有两个零点x1，x2（x1＜x2），两式相减，求出φ（x）=f′（x-1）-k（x-1）的导函数，确定单调性，即可证得结论．
（1）函数定义域为（-1，+∞），f'（x）=x-ln（x+1），
记g（x）=x-ln（x+1）g′(x)＝1−
1
x+1＝
x
x+1，（3分）
当x∈（-1，0）时，g'（x）＜0，g（x）在（-1，0）递减，
当x∈（0，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）在（0，+∞）递增，
∴x∈（-1，+∞），g（x）≥0，
即当x∈（-1，+∞），f'（x）≥0，
∴f（x）在（-1，+∞）递增 （6分）
（2）证明：由（1）可知φ（x）=x-1-lnx-k（x-1），
由题意：x1-1-lnx1-k（x1-1）=0，x2-1-lnx2-k（x2-1）=0，
两式相减得：x1−x2−ln
x1
x2＝k(x1−x2)，即有k＝1−
1
x1−x2ln
x1
x2，
又因为φ′(x)＝1−
1
x−k，所以φ′(
x1+x2
2)＝1−
2
x1+x2−k＝
1
x1−x2ln
x1
x2−
2
x1+x2（9分）
现考察ln
x1
x2−
2(x1−x2)
x1+x2＝ln
x1
x2−
2(
x1
x2−1)
x1
x2+1，
令
x1
x2＝t(0＜t＜1)，设
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，有一定的难度．