Question

三角形内找正三角形的问题已知三角形ABC,在AB,BC,CA上分别取点D,E,F使得三角形DEF为正三角形,记BC=a,

Answer 1

设正三角形的边长是t

CE=x

角CEF=q度

利用正弦定理

x/sin(C+q)=t/sinC

(a-x)/sin(B+120-q)=t/sinB

所以

xsinC/sin(C+q)=t

(a-x)sinB/sin(B+120-q)=t

所以

xsinC/sin(C+q)=(a-x)sinB/sin(B+120-q)

利用和比定理,削去x

t=x/[sin(C+q)/sinC]=(a-x)/[sin(B+120-q)/sinB]=a/{[sin(C+q)/sinC]+[sin(B+120-q)/sinB]}

所以我们可以用一个角度q表示t

t=a/{[sin(C+q)/sinC]+[sin(B+120-q)/sinB]}

我们要求t的最小值.

就是求[sin(C+q)/sinC]+[sin(B+120-q)/sinB]的最大值.

就是求cosq+cotCsinq+[sin(B+120)/sinB]cosq-sinq[cos(B+120)/sinB]的最大值.

就是求{1+[sin(B+120)/sinB]}cosq+[cotC-cos(B+120)/sinB]sinq的最大值.

其中注意到B,C还有那些三角函数都可以用三角形abc三边表示.

设

{1+[sin(B+120)/sinB]}＝X

[cotC-cos(B+120)/sinB]=Y

所以就是要求Xcosq+Ysinq的最大值,根据cauchy不等式有.

(Xcosq+Ysinq)^2