Question

（2013•嘉定区二模）函数f（x）=ax-（k-1）a-x（a＞0且≠1）是定义域为R的奇函数．

Answer 1

解题思路：（1）根据奇函数的性质可得f（0）=0，由此求得k值．

（2）由f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1），f（1）＜0，求得1＞a＞0，f（x）在R上单调递减，不等式化为f（x²+tx）＜f（x-4），即x²+（t-1）x+4＞0 恒成立，由△＜0求得t的取值范围．

（1）∵f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，

∴1-（k-1）=0，∴k=2．

当k=2时，f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1），∴f（-x）=-f（x）成立

∴f（x）是定义域为R的奇函数；

（2）函数f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1），

∵f（1）＜0，∴a-[1/a]＜0，

∵a＞0，∴1＞a＞0．

由于y=a^x单调递减，y=a^-x单调递增，故f（x）在R上单调递减．

不等式f（x²+tx）+f（4-x）＜0，可化为f（x²+tx）＜f（x-4）．

∴x²+tx＞x-4，即x²+（t-1）x+4＞0 恒成立，

∴△=（t-1）²-16＜0，解得-3＜t＜5．

点评：

本题考点： 奇偶性与单调性的综合．

考点点评： 本题考查指数型复合函数的性质以及应用，考查函数的奇偶性的应用，属于中档题．