f(x)=(e^x-a)²+(e^-x-a)²(a≥0(1)将f(x)表示为u=(e^x+e^-x)

1个回答

  • u=(e^x+e^-x)/2 (u≥1,当且仅当x=0时等号成立)

    则u^2=(e^2x+2+e^-2x)/4

    f(x)=(e^x-a)²+(e^-x-a)²

    =e^2x-2ae^x+a^2+e^-2x-2ae^-x+a^2

    =e^2x+e^-2x-2a(e^x+e^-x)+2a^2

    =(e^2x+e^-2x+2)-2-2a(e^x+e^-x)+2a^2

    =4u^2-2-2a*2u+2a^2

    =4u^2-4au+2a^2-2

    2)f(x)= 4u^2-4au+2a^2-2

    =(2u-a)^2+a^2-2

    a≥0,u≥1

    当a≥1时,f(x)最小值为a^2-2,此时2u=a

    当1>a≥0时,f(x)最小值为(2-a)^2+a^2-2=2a^2-4a+2 此时u=1(x=0)