设函数f(x)=x-xlnx.(Ⅰ)求f(x)的单调区间;(Ⅱ)若方程f(x)=t在[1e,e]上有两个实数解,求实数t

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  • 解题思路:(Ⅰ)对函数求导,(xlnx)′=(x)′lnx+x(lnx)′,(lnx)′=[1/x],分别令导数大于0,小于0,得x的取值区间,即为f(x)的单调区间;

    (Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)的单调性,求出极大值,求出区间两个端点的函数值,利用两个函数的图象可得实数t的取值范围.

    (Ⅰ)f′(x)=1-(lnx+1)=-lnx,

    令f′(x)>0,得0<x<1,令f′(x)<0,得x>1,

    ∴f(x)的增区间为(0,1],减区间为[1,+∞).

    (Ⅱ)由(Ⅰ)知:当x=1时,f(x)取得极大值为1,

    f([1/e])=[2/e],f(e)=0,

    由函数f(x)=x-xlnx与f(x)=t的图象知

    实数t的取值范围为[[2/e],1).

    点评:

    本题考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值.

    考点点评: 本题考查了利用导数求函数的单调区间,知函数图象的大致走向,注意把方程解的个数问题转化为对应函数图象的交点个数问题,可使问题直观易懂.