(2008•湖北)已知函数f(x)=x3+mx2-m2x+1(m为常数,且m>0)有极大值9.

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  • 解题思路:(I)求出导函数,求出导函数等于0的两个根,列出x,f′(x),f(x)的变化情况的表格,求出极大值,列出方程求出m的值.

    (II)将(I)求出的m的值代入导函数,利用曲线在切点处的导数值是切线的斜率,令导数等于-5,求出x即切点横坐标,将横坐标代入f(x)求出切点坐标,利用直线方程的点斜式写出切线方程.

    (Ⅰ)f’(x)=3x2+2mx-m2=(x+m)(3x-m)=0,则x=-m或x=[1/3]m,

    当x变化时,f’(x)与f(x)的变化情况如下表:

    x (-∞,-m) -m (-m,[1/3m)

    1

    3m (

    1

    3m,+∞)

    f'(x) + 0 - 0 +

    f(x) 递增 极大值 递减 极小值 递增 从而可知,当x=-m时,函数f(x)取得极大值9,

    即f(-m)=-m3+m3+m3+1=9,∴m=2.

    (Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)=x3+2x2-4x+1,

    依题意知f’(x)=3x2+4x-4=-5,∴x=-1或x=-

    1

    3].

    又f(-1)=6,f(-[1/3])=[68/27],

    所以切线方程为y-6=-5(x+1),或y-[68/27]=-5(x+[1/3]),

    即5x+y-1=0,或135x+27y-23=0.

    点评:

    本题考点: 函数在某点取得极值的条件;利用导数研究函数的极值;利用导数研究曲线上某点切线方程;直线的一般式方程.

    考点点评: 本题考查利用导数求函数的极值的步骤:求出导数;令导数为0求出根;列出表格判断根左右两边导函数的符号;求出极值.考查导数的几何意义:导数在切点处的值是曲线的切线斜率.