已知(根号x-2/x平方)的n次方的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10:1.(1)求展开式中各项系数的和;(2

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  • 1

    展开式为关于x的幂函数,

    所以取x=1,可得到展开式中各项系数的和为

    (根号1 - 2/1平方)的n次方

    =(-1)^n

    第五项的系数与第三项的系数的比为

    [C(n)(n-4)·(-2)^4] / [C(n)(n-2)·(-2)^2]

    =[4· C(n)(4)] / [C(n)(2)]

    =4[(n!)/(24·(n-4)!) ] / [(n!)/(2·(n-2)!) ]

    =(n-2)(n-3)/3

    即 (n-2)(n-3)/3 = 10

    n²-5n-24=0

    n为正整数,则解得n=8

    故展开式中各项系数的和(-1)^n=1

    2

    二项式系数最大的项为其中间项:第4项

    C(n)(4) · (根号x)^4 · (-2/x平方)^4 =1120/x^6

    展开式中的项为

    C(8)(t) · (根号x)^t · (-2/x平方)^(8-t)

    其系数为

    C(8)(t) · (-2)^(8-t)

    当t是偶数时,所求的系数才能是最大.

    t的可选范围是0,2,4,6,8

    C(8)(t) 的变化规律是完全对称性的先增后减,

    2^(8-t) 的变化规律是单调递减,

    故t的可选范围调整为0,2,4

    C(8)(0) · (-2)^(8-0)=2^8=256,

    C(8)(2) · (-2)^(8-2)=28×2^6=1792,

    C(n)(4) · (-2)^(n-4)=1120×2^4=17920

    因此展开式中系数最大的项也是第4项:17920/x^6