Question

已知:m2=m+1.n2=n+1,且m≠n.求m5+m5

Answer 1

m和n是方程:x^2-x-1=0的两个不同的解

所以:m+n=1

mn=-1

所以:(m+n)(m+n)=m^2+2mn+n^2=m^2+n^2-2=1

所以:m^2+n^2=3

把上边的式子平方::m^4+2m^2n^2+n^4=m^4+n^4-2=9

所以:m^4+n^4=11

又因为:m+n=1

所以:(m^4+n^4)(m+n)=11*1=11

把左边展开:

所以:m^5+n^5+m^4n+mn^4=m^5+n^5+mn(m^3+n^3)=11

因为:m^3+n^3=(m+n)(m^2-mn+n^2)

所以:m^5+n^5=11-mn(m^3+n^3)=11-(-1)(m+n)(m^2-mn+n^2)=11+1*(3-(-1))=14