方法1:设AB=AC=1,AE=CF=X,则AF=1-X.
S⊿AEF=AE*AF/2=X(1-X)/2=(-1/2)X^2+(1/2)X=(-1/2)*(X-1/2)^2+1/8.
即当X=1/2时,S⊿AEF最大,最大值为1/8.
也就说当X=AB的一半时,即当点E为AB中点时(点F也为AC中点),S⊿AEF面积最大.
方法2:取斜边的中点D,连接AD,DE,DF.
⊿ABC为等腰直角三角形,则AD=CD;∠EAD=∠C=45°;
又AE=CF,则:⊿EAD≌ΔFCD,得DE=DF;∠ADE=∠CDF,∠ADE+∠ADF=∠CDF+∠ADF=90°.
故S⊿EAD=SΔFCD,故S四边形EAFD=S⊿ACD=(1/2)S⊿ABC.
即四边形EAFD面积为定值,总等于三角形ABC面积的一半,所以当⊿DEF面积最小时,ΔAEF面积最大.根据"点到直线垂线段最短"的道理可知,当DE垂直AB时(DF也同时垂直AC),DE和DF最小,此时三角形AEF的面积最大.