Question

已知数列{an}的通项公式为an=2×3n+23n−1（n∈N∗）．

Answer 1

解题思路：（1）首先对数列{an}的通项公式进行变形，由 a_n=

2

×3

n

+2

3

n

−1

，分析a_n随n的变化规律再结合n∈N*即可获得问题的解答．

（2）结合条件充分利用等比数列的性质：等比中项即可获得含参数的方程，解方程即可获得参数的值，最后要注意

参数的验证．

（3）若存在三项a_m，a_n，a_p，使数列a_m，a_n，a_p是等差数列，则2a_n=a_m+a_p，化简得3ⁿ（2×3^p-n-3^p-m-1）

=1+3^p-m-2×3^n-m（*），由条件可得（*）式不可能成立，故数列{a_n}中不存在三项a_m，a_n，a_p，使数列a_m，a_n，a_p是

等差数列．

（1）由题意可得 a_n=[2×3n+2/3n−1]=2+[4/3n−1]，随着n的增大而减小，所以{a_n}中的最大项为a₁=4．

（2）b_n=

an+p

an−2=

2+

4

3n−1+p

4

3n−1=

(2+p)(3n−1)+4

4=

(2+p)3 n+(2−p)

4，若{b_n}为等比数列，

∴b²_n+1-b_nb_n+2=0（n∈N*），

∴[（2+p）3ⁿ⁺¹+（2-p）]²-[（2+p）3ⁿ+（2-p）][（2+p）3ⁿ⁺²+（2-p）]=0（n∈N*），

化简得（4-p²）（2•3ⁿ⁺¹-3ⁿ⁺²-3ⁿ）=0即-（4-p²）•3ⁿ•4=0，解得p=±2．

反之，当p=2时，b_n=3ⁿ，{b_n}是等比数列；当p=-2时，b_n=1，{b_n}也是等比数列．

所以，当且仅当p=±2时{b_n}为等比数列．

（3）因为am＝2+

4

3m−1，an＝2+

4

3n−1，ap＝2+

4

3p−1，

若存在三项a_m，a_n，a_p，使数列a_m，a_n，a_p是等差数列，则2a_n=a_m+a_p，

所以2(2+

4

3n−1)=2+

4

3m−1+2+

4

3p−1，

化简得3ⁿ（2×3^p-n-3^p-m-1）=1+3^p-m-2×3^n-m（*），

因为m，n，p∈N^*，m＜n＜p，所以p-m≥p-n+1，p-m≥n-m+1，

所以3^p-m≥3^p-n+1=3×3^p-n，3^p-m≥3^n-m+1=3×3^n-m，（*）的

左边≤3ⁿ（2×3^p-n-3×3^p-n-1）=3ⁿ（-3^p-n-1）＜0，

右边≥1+3×3^n-m-2×3^n-m=1+3^n-m＞0，所以（*）式不可能成立，

故数列{a_n}中不存在三项a_m，a_n，a_p，使数列a_m，a_n，a_p是等差数列．

点评：

本题考点： 等比数列的性质；等差关系的确定；等比关系的确定．

考点点评： 本题考查的是数列与不等式的综合问题．在解答的过程当中充分体现了数列与函数的思想、数学归难的思想以及问题转化的思想．值得同学们体会和反思．