Question

已知多项式f(x)=a0+a1x+...anx^n的系数为0,a1...an 成等差数列,且f(0)=f(1)=105,

Answer 1

设这个数列的公差为d,则有

f(0)=a0=105

f(1)=a0+(a0+d)+a0+2d)+.+(a0+nd)=105(n+1)+n(n+1)d/2

因为n>0,所以 (n+1)d=-210 （1）

当n为奇数时,f(-1)=(a0-a1)+(a2-a3)+.+[a(n-1)-an]=(n+1)d/2=15,与（1）矛盾,所以n不能为奇数.

因此f(-1)=a0+(-a1+a2)+(-a3+a4)+.+[-a(n-1)+an]=a0+nd/2=105+nd/2=15 (2)

由（1）、（2）得到 n=6 d=-30

于是 an=-75

因此n=6 an=-75