数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}的前n项的和为Tn,{bn}为等差数列且各项均为正数,a1=1,an+1=2S

3个回答

  • 解题思路:(1)通过an+1-an=(2Sn+1)-(2Sn-1+1)=2an.利用等比数列的定义判断{an}是公比为3的等比数列.

    (2)由(1)得数列{an}通项公式,设{bn}的公差为d(d>0),利用a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列,求出公差,然后求解Tn

    (1)当n≥2时,an+1-an=(2Sn+1)-(2Sn-1+1)=2an

    ∴an+1=3an,即

    an+1

    an=3 …4分

    又 a2=2S1+1=3=3a1…2分

    ∴{an}是公比为3的等比数列…8分

    (2)由(1)得:an=3n-1…9分

    设{bn}的公差为d(d>0),∵T3=15,∴b2=5…11分

    依题意a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列,有(a2+b22=(a1+b1)(a3+b3),

    ∴64=(5-d+1)(5+d+9)

    d2+8d-20=0,得d=2,或d=-10(舍去) …14分

    故Tn=3n+

    n(n−1)

    2×2=n2+2n…16分.

    点评:

    本题考点: 等比数列的性质;等差数列的前n项和;等比关系的确定.

    考点点评: 本题考查等比数列的性质,等差数列的前n项和,等比关系的确定的应用,考查计算能力.