Question

求助线性代数一个定理!同济大学线性代数（第三版）P148也定理7 设A为n阶对称矩阵,γ是A的特征方程的r重根,则矩阵A

Answer 1

1）A为n阶对称矩阵=> A 相似于 对角阵Y=diag(y1,y2,...,yn)

2）又由 A 相似于Y,有方阵多项式f(A)相似于方阵多项式f(Y) =>

A-yE 相似于 Y-yE=diag(y1-y,y2-y,..,yn-y)

3）γ是A的特征方程的r重根=>

A-yE 相似于 diag(y1-y,y2-y,..,yn-y)=diag(0,0,..0,y(r+1)-y ,..,yn-y)

4 ) 相似矩阵有相同的秩 故R( A-yE )=R(diag(0,0,..0,y(r+1)-y ,..,yn-y)=n-r

5）对应特征值γ的特征向量,就是方程组( A-yE )x=0的解,有n-(n-r)=r个线性无关的解,

即有r个线性无关的特征向量.