解题思路：（1）根据题意可分别求得a1和a2，进而求得b1，整理把
a
n+1
＝
a
n
+
b
n
2
代入
b
n+1
＝
2
a
n
b
n
a
n
+
b
n
整理得an+1bn+1=anbn═a1b1=4推断出
b
n
＝
4
a
n
代入
a
n+1
＝
a
n
+
b
n
2
中求得an和an+1的递推式，根据均值不等式可知
a
n
2
+
2
a
n
＞2，进而可知an+1＞2进而推断出∀n∈N+，an＞2
（2）根据（1）中结论可求得an+1+2，an+1-2的表达式，进而可求得
ln
a
n+1
+2
a
n+1
−2
＝2ln
a
n
+2
a
n
−2
，判断出所以
{ln
a
n
+2
a
n
−2
}
是等比数列．
（3）由（2）可求得数列
{ln
a
n
+2
a
n
−2
}
的通项公式，进而求得an，设
C
n
＝
4
3
2
n−1
，根据[4
(
3
2
n−2
)(
3
2
n−2
)
＜
1/4
C
n−1
进而判断出
C
n
＜
1
4
C
n−1
＜
(
1
4
)
2
C
n−2
＜…＜
(
1
4
)
n−1
C
1
＝2
(
1
4
)
n−1
可推断出
a
n
＜2+2
(
1
4
)
n−1
，进而利用等比数列的求和公式求得Sn=
2n+2+
2
3
(1−
1
4
n−1
)＜2n+
8
3]．
（1）由已知得a1=4，a2=[5/2]，所以b1=1故an+1bn+1=anbn═a1b1=4；
由已知：an＞0，a1＞2，a2＞2，bn＝
4
an∴an+1＝
an
2+
2
an，
由均值不等式得an+1＞2
故∀n∈N+，an＞2
（2）
an+1+2
an+1−2＝(
an+2
an−2)2，an+1+2＝
(an+2)2
2an，
an+1−2＝
(an−2)2
2an
所以ln
an+1+2
an+1−2＝2ln
an+2
an−2，所以{ln
an+2
an−2}是等比数列
（3）由（2）可知ln
an+2
an−2＝(ln3)×2n−1＝ln32n−1∴an＝
32n−1+1
32n−1−1
设Cn＝
4
32n−1＝
4
(32
点评：
本题考点： 数列递推式；等比关系的确定；数列的求和．
考点点评： 本题主要考查了数列的递推式．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．
1年前
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