Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，AD=2，BC=BD=3，AC=4．

Answer 1

解题思路：（1）首先过点D作DK∥AC交BC的延长线于K，易得四边形ACKD是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，易求得BD²+DK²=BK²，即可得△BDK是直角三角形，∠BDK=90°，继而证得AC⊥BD；

（2）由OA、OC为方程x²-mx+3.84=0的二根，OA+OC=AC=4可知m=4，所以方程为x²-4x+3.84=0，解方程求得OA，OC的值，然后根据勾股定理求得OB，继而求得△AOB的面积．

（1）证明：过点D作DK∥AC交BC的延长线于K，

∵AD∥BC，

∴四边形ACKD是平行四边形，

∵AD=2，BC=BD=3，AC=4，

∴CK=AD=2，DK=AC=4，DK∥AC，

∴BK=BC+CK=5，

∴BD²+DK²=BK²，

∴△BDK是直角三角形，∠BDK=90°，

即DK⊥BD，

∴AC⊥BD；

（2）∵OA、OC为方程x²-mx+3.84=0的二根，OA+OC=AC=4，

∴方程为x²-4x+3.84=0，

解方程得：x₁=1.6，x₂=2.4，

∴OA=1.6，OC=2.4，

在RT△BOC中，OB=

BC2−OC2=

32−2．42=1.8，

∴S_△AOB=[1/2]OA•OB=[1/2]×1.6×1.8=[36/25]．

点评：

本题考点： 梯形；勾股定理的逆定理．

考点点评： 此题考查了梯形的性质、平行四边形的判定与性质，勾股定理以及勾股定理的逆定理．此题综合性较强，难度适中，注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．