解题思路：（1）设直线EF的解析式为y=kx+b，把A（1，0），B（0，1）代入y=kx+b，运用待定系数法求出直线EF的解析式，由点P（a，b）是反比例函数
y＝
1
2x
图象上的点，得出
b＝
1
2a
，又点E的横坐标为a，点F的纵坐标为b即[1/2a]，分别把x=a，y=[1/2a]代入直线EF的解析式，即可求出对应的值，从而得出结果；
（2）在△BOE与△AOF中，由于∠OBA=∠OAB=45°，根据相似三角形的判定，可分别计算BE：OB与OA：AF的值，如果它们相等，那么△AOF∽△BEO，否则，就不相似；
（3）根据相似三角形的对应角相等及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个外角的和得出∠FOE=∠EAO=45°；
（4）假设在双曲线
y＝
1
2x
上存在点P，使点P到直线AB的距离最短．那么平行于AB的直线y=-x+m应与双曲线
y＝
1
2x
相切，即方程
−x+m＝
1
2x
有两个相等的实数根，根据判别式△=0求出m的值，从而确定点P的坐标，进而得到点P到直线AB的最短距离．
（1）设直线EF的解析式为y=kx+b，
由题知A（1，0），B（0，1），
把A（1，0），B（0，1）代入y=kx+b，
得k+b=0，b=1，
解得k=-1，b=1．
∴y=-x+1．
∵点P（a，b）是反比例函数y＝
1
2x图象上的点，
∴b＝
1
2a．
∴E（a，1-a），F(1−
1
2a，
1
2a)；
（2）△AOF与△BOE一定相似．
理由如下：
∵OA=OB=1，
∴AB＝
2，∠OBA=∠OAB=45°，
∴AE＝
2AM＝
2(1−a)，BF＝
2BN＝
2(1−
1
2a)，
∴BE＝BA−AE＝
2a，AF＝BA−BF＝
2
2a，
∴BE•AF＝
点评：
本题考点： 反比例函数综合题．
考点点评： 本题主要考查了运用待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定及性质，一次函数与反比例函数的关系，通过解方程求交点坐标等知识．综合性强，有一定难度．