Question

已知,如图,在△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB于D,BE平分∠ABC=45°,且BE⊥AC于E,与CD相交于F,

Answer 1

∵BE平分角ABC,且BE垂直AC于点E,

∴根据等腰三角形"三线合一",可知,三角形ABC是等腰三角形;AB=BC..

∠BAC＝∠BCA

又∵∠ABC＝45°,

∴∠BAC＝∠BCA＝(180°-45°)/2=67.5°;

在三角形BCD中,∠BCD=180°-∠ABC-∠BDC

=180°-45°-90°

=45°.

即三角形BCD是等腰直角三角形;

BD=CD;

且:

∠ACD=∠BCA-∠BCD=67.5°-45°

=22.5°;

∠DBF=∠ABC/2=45°/2

=22.5°;

故 ∠ACD=∠DBF.

又因为∠BDC=∠ADC=90°,

BD=CD,

则△BDF≌△ACD (角边角)

∴ BF=AC.

∵三线合一,

∴CE=AE=二分之一AC

=二分之一BF.

连接CG.

∵三角形BCD是等腰直角三角形,

而且H是边BC的中点,即DH是三角形BCD中BC边的中线,

则DH⊥BC;

即DH垂直平分BC.

∴BG=CG.

易知,GF＜CG,则GF＜BG.

而 BG+GF=BF,

故 BG＞二分之一BF．

即 CE＜BG