Question

过点M（1，2）的直线l与圆C：（x-2）2+y2=9交于A、B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程为____

Answer 1

解题思路：根据题意，由圆的性质可得当直线l满足CM⊥l时弦长AB最短，相应地∠ACB最小．因此算出直线CM的斜率，进而得到直线l的斜率，利用直线方程的点斜式列式，化简即可得到所求直线l的方程．

∵圆C方程为：（x-2）²+y²=9，∴圆心C的坐标为（2，0），半径r=3．

∵点M（1，2）为圆C内部一点，直线l经过点M（1，2）与圆C交于A、B两点，

∴根据圆的性质，当CM与l垂直时弦长AB最短，相应地∠ACB最小．

此时直线l的斜率与CM的斜率之积为-1．

∵k_CM=[0−2/2−1]=-2，∴直线l的斜率k=[−1

kCM=

1/2]，

由此可得直线l的方程为y-2=[1/2]（x-1），化简得x-2y+3=0．

故答案为：x-2y+3=0

点评：

本题考点： 直线与圆的位置关系．

考点点评： 本题给出直线l经过定点与圆C相交于A、B两点，求∠ACB最小时直线l的方程．着重考查了直线的方程、圆的标准方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．