解题思路：（1）记F（x）=f（x）-g（x）=ax2-x-lnx，可得F'（x）=
(x−1)(2x+1)/x]．再讨论F'（x）的正负，可得函数f（x）-g（x）的单调增区间为（1，+∞），单调减区间为（0，1）；
（2）由f（x）=g（x）得ax2-x=lnx，可得a=
x+lnx
x
2
．设r（x）=
x+lnx
x
2
，通过研究r'（x）的正负，得到r（x）的极大值为r（1）=1＞0，当x∈（0，1）时，r（x）∈（-∞，1]；且当x＞1时0＜r（x）＜1．由此可得当y=f（x）与y=g（x）图象有两个不同的交点M、N时，实数a的取值范围为（0，1）；
（3）根据导数的几何意义与两点连线的斜率公式，得
1
x
0
=
y
2
−
y
1
x
2
−
x
1
，解出x0=
x
2
−
x
1
ln
x
2
x
1
，利用函数y=ln（1+x）-x的单调性，得出ln
x
2
x
1
＜
x
2
x
1
-1，从而得到x0＞
x
2
−
x
1
x
2
x
1
−1
=x1；类似的方法可证出x0=
x
2
−
x
1
−ln
x
1
x
2
＜
x
2
−
x
1
x
2
−
x
1
x
2
=x2．由此即可得到x1＜x0＜x2成立．
（1）记F（x）=f（x）-g（x）=ax2-x-lnx，（x＞0）
当a=1时，F'（x）=2ax-1-[1/x]=
(x−1)(2x+1)
x，（x＞0）
∵当x∈（0，1）时F'（x）＜0；当x∈（1，+∞）时F'（x）＞0
∴函数f（x）-g（x）的单调增区间为（1，+∞），单调减区间为（0，1）；
（2）函数y=f（x）与y=g（x）的图象的交点横坐标，即为方程f（x）=g（x）的实数解
由f（x）=g（x），得ax2-x=lnx，可得a=[x+lnx
x2
令r（x）=
x+lnx
x2，求导数得r'（x）=
(1+
1/x)•x2−2x(x+lnx)
x4]=[1−x−2lnx
x3
∵当x∈（0，1）时r'（x）＞0；当x∈（1，+∞）时r'（x）＜0
∴函数r（x）的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞），
可得r（x）的极大值为r（1）=1＞0，
又∵r（
1/e]）=
−1+e−1
e−2＜0，当x→0时，r（x）→-∞，且当x＞1时0＜r（x）＜1
∴r（1）=1是函数r（x）的最大值，且函数r（x）的值域为（-∞，1]
因此，要使y=f（x）与y=g（x）图象有两个不同的交点M、N，实数a的取值范围为（0，1）．
（3）由已知，得[1
x0=
y2−y1
x2−x1，所以x0=
x2−x1
y2−y1=
x2−x1
ln
x2
x1；
∵函数y=ln（1+x）-x在区间（-1，0）上是减函数，在区间（0，+∞）上是增函数
∴函数y=ln（1+x）-x的最小值为0，得当x＞0时，ln（1+x）-x＞0，可得ln（1+x）＞x
因此，由ln
x2
x1=ln（1+
x2
x1-
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．
考点点评： 本题给出含有字母参数的二次函数f（x）和对数函数g（x），讨论它们的差函数的单调区间，并且讨论了两个函数图象交点个数的问题．着重考查了基本初等函数的性质、利用导数研究函数的单调性、导数的几何意义与直线的斜率和不等式的证明等知识，属于中档题．
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