Question

数列{an}的前几项和为Sn,a1=1,a(n+1)=2Sn(n属于正整数）

Answer 1

a(n+1)=2S(n)=S(n+1)-S(n),

S(n+1)=3S(n),

{S(n)}是首项为S(1)=a(1)=1,公比为3的等比数列.

S(n)=3^(n-1),n = 1,2,...

a(n+1)=2S(n)=2*3^(n-1)

a(1) = 1,

n>1时,a(n)=2*3^(n-2),

n=1时,na(n)=a(1)=1,

n>1时,na(n) = 2n*3^(n-2)

T(n) = 1 + 2*2 + 2*3*3 + ...+ 2*(n-1)*3^(n-3) + 2*n*3^(n-2)

3T(n) = 3 + 2*2*3 + 2*3*3^2 + ...+ 2*(n-1)*3^(n-2) + 2*n*3^(n-1),

-2T(n) = T(n)-3T(n)=1+2*2-3 + 2*3 + 2*3^2 + ...+ 2*3^(n-3) + 2*3^(n-2) - 2*n*3^(n-1) = 2[1 + 3 + 3^2 + ...+ 3^(n-2)] - 2n*3^(n-1)

= 2[3^(n-1) - 1]/(3-1) - 2n*3^(n-1)

= 3^(n-1) - 1 - 2n*3^(n-1)

= (1-2n)3^(n-1) - 1.