（2014•安庆三模）设函数fn（x）=2anx3 - 知识问答

（2014•安庆三模）设函数fn（x）=2anx3-3an+1x2+6x+1，an＞0，a1=1，若fn（x）有两个极值

1个回答

解题思路：（Ⅰ）由
f
n
′(x)＝6
a
n
x
2
−6
a
n+1
x+6
=0，得：
a
n
x
2
−
a
n+1
x+1＝0
，由此利用韦达定理结合已知条件推导出
a
n+1
＝
a
n
+
2
n
，n∈N^*．
（Ⅱ）由
a
n+1
−
a
n
＝
2
n
，利用累加法能求出a_n=2ⁿ-1．
（Ⅲ）由α_nβ_n=
1
α
n
＞0
，得T_n≥T₁=1，当n≥2时，α_nβ_n=
1
a
n
＜
1
2
n−1
−1
−
1
2
n
−1
，由此利用裂项求和法能证明对一切n∈N^*，均有1≤T_n＜2成立．
（Ⅰ）∵函数f_n（x）=2a_nx³-3a_n+1x²+6x+1，
∴fn′(x)＝6anx2−6an+1x+6，
由f_n'（x）=0，得：anx2−an+1x+1＝0，
∴x=α_n、x=β_n是上方程的两根，由韦达定理：
αn+βn＝
an+1
an
αnβn＝
1
an，
由已知αn+βn−1＝2nαnβn，n∈N^*，
∴
an+1
an−1＝
2n
an，即an+1＝an+2n，n∈N^*．…（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：an+1−an＝2n，n∈N^*，
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=2^n-1+2^n-2+…+2+1
=
1−2n
1−2=2ⁿ-1．…（7分）
（Ⅲ）证明：∵α_nβ_n=
1
αn＞0，∴T_n≥T₁=1，
当n≥2时，α_nβ_n=
1
an=
1
2n
点评：
本题考点：数列与函数的综合；利用导数研究函数的极值．
考点点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．

相关问题