设D={(x,y)/x^2+y^2≤x},求∫∫x^1/2dxdy

1个回答

  • D={(x,y)|x^2+y^2≤x}={(x,y)|(x-1/2)^2+y^2≤1/2}

    ∫∫x^1/2dxdy=∫[0,1]x^1/2dx∫ [-(x-x^2)^1/2,(x-x^2)^1/2]dy

    =∫[0,1]x^1/2*2(x-x^2)^1/2dx=∫[0,1]2x*2(1-x)^1/2dx

    令t=(1-x)^1/2,x=1-t^2,dx=-2tdt

    原式=∫[0,1]2(1-t^2)t*2tdt=4*∫[0,1](t^2-t^4)dt=4*1/3-4*1/5=8/15.

    [ ,]表示[下限,上限]

    可能运算时出错,方法应该是对的,仅供参考.