实际上,反三角函数可以看作是一个角度
先要明确,arcsin（x）的值域为[-π/2,π/2],也就是说,arcsin（x）表示一个大于等于-π/2,小于等于π/2的角度.
在这个取值范围内,角度与正弦值一一对应（这一点可由图象直观的得到）
余弦与之类似,只是值域为[0,π]
现在,看你提出的问题.
sin[acrsin(-x)]=-x
而sin(arcsinx)=x
即sin[acrsin(-x)]=-sin(arcsinx）
而我们知道sin(-x)=-sin(x)
所以有sin[acrsin(-x)]=sin(-arcsinx）
又由于在反正弦函数的值域内,角度与正弦值一一对应,即有关系：角等则值等,值等则角等
所以acrsin(-x)=-arcsinx
同样的,cos[acrcos(-x)]=-x
cos(acrcosx)=x
cos(π -x)=-cos(x)
cos(π -acrcosx)=-x
所以cos[acrcos(-x)]=cos(π -acrcosx)
由于在反余弦函数的值域内,函数值与角度也一一对应,
所以acrcos(-x）=π -acrcosx
实际上这时,它们的相应的三角函数值也相等,但这就要考虑到反三角函数的值域,举一例说明
acrcos(x）∈[0,π],则容易得到π -acrcosx∈[0,π],而acrcos(-x)∈[0,π],取值范围相同为它们相等制造了可能性.而π +acrcosx∈[π,2π],除了π这个值外,它们的取值范围都不相同,故没有可能相等.
这也说明,上述两个公式是具有普遍意义的,而在一些特殊点,反三角函数也具有一些特殊的相等值,但它们并不具有普遍意义.